ESPERANZA MATEMÁTICA

Si un club vende 600 boletos para una rifa con un premio en efectivo de $120 ¿Cuál es la esperanza matemática de una persona que compra uno de estos boletos?

1/ 600 . 120 =0.2

En un bazar realizado para reunir fondos para una obra de caridad cuesta $1.00 probar la suerte retirando un as de una baraja normal de 52 cartas ¿cuál es el beneficio esperado por cliente si pagan $10 si sólo un cliente saca un as?

E=∑P(x)

$10= 4/52 (x)

$10=0.076 (x)

X= 10/0.076 =130

Si alguien nos da $15 de una baraja normal de 52 cartas ¿cuánto deberíamos pagarle si retiramos un diamante, un corazón o un trébol, de manera que sea un juego justo?

E=∑P(x)

E=13/52 (15)+39/52 (x)

0=13/52 (15)+39/52 (x)

0=3.75+39/52 (x)

3.75=39/52 (x)

X=3.75 (-52)/39= $5

El ganador de un torneo de tenis obtiene $40 000 y el subcampeón obtiene $15 000 ¿cuáles son las expectativas matemáticas de los dos finalistas si

E=∑P(x)

a)      Tienen las mismas probabilidades;

E= 40 000 (0.5)+ 15 000 (0.5)

E= 20 000+ 7 500 = $27 500

b)      Sus probabilidades de ganar son 0.60 y 0.40;

E= 40 000 (0.6)+ 15 000 (0.4)

E= 24000+ 6000 = $30 000

c)       Sus probabilidades de ganar son 0.70 y 0.30?

E= 40 000 (0.7)+ 15 000 (0.3)

E= 28 000 + 4 500 = $32 500

La caja 1 contiene 20 tiras de papel de las cuales 19 tienen la marca $0 y la otra tiene la marca $5; la caja 2 tiene 50 tiras de papel de las cuales 49 tienen la marca $0 y la otra tiene la marca $14. Si una persona gana el valor de la tira que saque ¿Qué es más inteligente sacer una tira de la caja 1 o de la2?

1/20 = 0.05         E=1/20 (5) = 0.25

1/50 = 0.02         E=1/50 (14) = 0.28

Como parte de un programa de promoción, el fabricante de un nuevo alimento para desayunar ofrece un premio de $50 000 a alguien que desee probar el nuevo producto (distribuido sin cargos) y envie su nombre en la etiqueta. Se seleccionará al ganador al azar de todos los cupones recibidos. ¿Cuál es la esperanza matemática de cada concursante si 200 000 personas envían su nombre?

E= 1/ 200 000 (50 000) =0.25

Si los dos campeonatos de la liga están igualmente clasificados, las probabilidades de que una semifinal de baloncesto de “mejor de los mejores” tome 4, 5, 6 o 7 juegos son 1/8, ¼, 5/16 y 5/16 ¿cuánto juegos podemos esperar que dure dicha semifinal en estas condiciones?

E=∑P(x)

E= 1/8 (4)+ ¼ (5)+ 5/16 (6)+ 5/16 (7)

E= 0.5+1.25+1.875+2.1875

E= 5.8125

Los padres de una estudiante le prometen un regalo de $100 si saca una A en estadística, $50 si obtiene una B y ningún premio si obtiene alguna otra calificación ¿Cuál es su esperanza matemática si las probabilidades de que saque A o B son 0.32 y 0.40?

E=∑P(x)

E= 0.32 (100)+ 0.40 (50)= $52

El gestor salarial de un sindicato laboral cree que las posibilidades de que los miembros del sindicato obtengan un aumento de $1 en su salario por hora son de 3 a 1, de 17 a 3 que no obtengan un aumento de $1.40 en su salario por hora y de 9 a 1 que n obtengan un aumento de $2.00 en su salario por hora ¿cuál es el aumento esperado correspondiente en su salario por hora?

E=∑P(x)

E= 1/3 (1)+ 3/17 (-1.4)+ 1/9 (-2)

E= 0.33+ (-0.24)+ (-0.22) = -0.13

COMBINACIONES

La tienda de regalos de un centro turístico tiene quince postales distintas ¿De cuantas maneras puede seleccionar una persona cuatro de estas postales como recuerdo?

N=15   r=4

15C₄ = 15!/ 4! (15-4)! = 1365

Una pizzería ofrece diez ingredientes adicionales para su pizza ¿De cuántas maneras un cliente puede seleccionar tres ingredientes adicionales para su pizza?

N= 10   r= 3

10C₃ =10!/ 4! (10-4)!=120

Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra cuatro de los diez best-sellers actuales ¿De cuántas maneras un cliente puede hacer tal selección?

N= 10   r= 4

10C ₄=10!/ 4! (10-4)!=210

Una prueba de “verdadero-falso” comprende doce preguntas. Calcule los números de maneras en que un estudiante puede marcar cada pregunta ya sea como verdadero o falso y obtener.

a)      Ocho aciertos y cuatro errores.

b)      Diez aciertos y dos errores.

a.- n=12    r=8

12C₈ = 12!/8! (12-8)! =495

b.- n=12   r=10

12C₁₀ =12! /10! (12-10)!=66

Un estudiante de bachillerato que elabora un informe de Grecia antigua  ha encontrado quince libros sobre la materia en la librería de la escuela. Las reglas de la biblioteca le permiten sustraer sólo cinco libros a la vez. Encuentre el número de maneras en que el estudiante puede seleccionar cinco libros.

N=15   r=5

15C₅ = 15!/ 5!(15-5)!=3003

Una rejilla de doce huevos contiene un huevo roto ¿De cuántas maneras una persona puede seleccionar tres de estos huevos y

a) sacar el huevo roto;   N=12    r=3

11C₂ . 1C₁ = 55. 1= 55

b) no sacar el huevo roto N=11   r=3

11C₃ = 11!/ 3!(11-3)! =165

Un paquete de diez baterías tiene dos piezas defectuosas ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres de estas baterías y sacar

a)      Ninguna de las baterías defectuosas   N=8   r=3

8C₃ =8!/3!(8-3)!=56

b)      Una de las baterías defectuosas   N=10   r=3

8C₂ . 2C₁ =(28)(2)=56

c)       Las dos baterías defectuosas   N=10    r=3

8C₁ .2C₂ = (8)(1)=8

Entre los ocho candidatos para dos vacantes del personal de una escuela se encuentran cuatro hombres y cuatro mujeres ¿De cuántas formas se pueden cubrir estas vacantes

a)      Con dos candidatos cualesquiera de los ocho;     N=8    r=2

8C₂ =8!/2!(8-2)!=28

b)      Con dos candidatas cualesquiera de las mujeres calificadas;   N=4    r=2

4C₂ =4!/2!(8-2)!=6

c)       Con dos candidatos cualesquiera de los hombres calificados;   N=4    r=2

4C₂ =4!/2!(8-2)!=6

d)      Con uno de los candidatos y una de las candidatas?    N=8    r=2

4C₁ . 4C₁ = (4)(4)=16

Una tienda de ropa para hombre ofrece ocho clases de suéteres, seis clases de pantalones y diez clases de camisas ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar dos prendas de cada clase para una venta especial?

N=8, 6, 10   r=2

(8)(6)(10)C₂ = (28)(15)(45)=18 900

Susana es una de siete oficinistas de una empresa pequeña. Se seleccionarán a tres de estos trabajadores para formar parte de un comité

a)      ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar a tres de estas personas para formar parte del comité?

N=7    r=3

7C₃ =7!/3!(7-3)!=35

b)      ¿De cuántas formas diferentes se pueden seleccionar a tres personas de modo que Susana NO forme parte del comité?

N= 6    r=3

6C₃ =6!/3!(6-3)!= 20

c)       ¿De cuántas maneras distintas se puede seleccionar a tres de estas personas de modo que Susana sea una de las elegidas?

N=7    r=3

6C₂ .1C₁ = (15)(1)=15

PROBABILIDAD

Si lanzamos un par de dados balanceados, ¿qué probabilidades hay de obtener

(a) un 5;

(b) un 7;

(c) un 11;

(d) ya sea un 7  un 11 ?

n=12

a)      P(x) =3C₂ . 3C₂ /12C₂ =0.13

b)      P(x) =6C₃ . 6C₃ /12C₃

Si C representa las caras y X las cruces, los dieciséis resultados posibles para cuatro lanzamientos de una moneda son

CCCC  CXCC  XCCC  XXCC

CCCX  CXCX  XCCX  XXCX

CCXC  CXXC  XCXC  XXXC

CCXX  CXXX  XCXX  XXXX

n= 16                          Para 0 caras         n=16       Para 1 cara

s= 1                              1/16                          s=4                  4/16 = 1/4

n=16                           Para 2 caras         n=16       Para 3 caras

s= 6                             6/16 = 3/8                     s=4                 4/16 = 1/4

Para 4 caras

n=16

s=1       1/16

Una tómbola contiene 15 bolas rojas, 30 bolas blancas, 20 bolas azules y bolas negras. Si se saca una de las bolas al azar, ¿Cuáles con las probabilidades de que sea

(a) roja;

(b) blanca o azul;

(c) negra;

(d) ni blanca ni negra?

15r          a) P(x)=15C₁ /62C₁= 0.24

30bl         b)P(x)=50C₁ /62C₄ =  0.80

20az        c) P(x)=7C₁ /62C₁= 0.11

7n            d) P(x)35C₁ / 62C₁= 0.56

Las bolas que se usan para seleccionar los números del Bingo tienen los números 1,2,3....,75. Si se selecciona una de las bolas al azar. ¿Cuáles son las probabilidades de que sea

(a) un número par;

(b) 15 o un número menor;

(c) 60 o un número mayor?

a)    P(x)=37C₁ / 75C₁= 0.49

b)    P(x)=15C₁ / 75C₁= 0.2

c)    P(x)=16C₁ / 75C₁= 0.21

Una rejilla de 24 focos incluye dos piezas defectuosas. Si se seleccionan dos focos al azar, ¿qué probabilidades hay de que

(a) ninguno esté defectuoso;

(b) uno de los dos esté defectuoso;

(c) los dos estén defectuosos? 

n= 24     2 dfc

a) r=2  P(x)=22C₂ /24C₂= 0.83

b) P(x)22C₁ .2C₁ /24C₂= 0.15

c) P(x)22C₀ .2C ₂/24C₂= 3.62 x 10^-3

Un tesoro de monedas medievales descubierto en España incluye 24 piezas de Sevilla y 16 piezas de Toleado. Si una persona selecciona cuatro de estas monedas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga dos monedas de cada ciudad?

n=40 r=4

P(x)=24C₂ . 16C₂ / 40C₄= 0.36

Las siete ciudades de Estados Unidos con mayor número de asesinatos en 1990 fueron Nueva York, Los Angeles, Chicago, Detroit, Houston, Filadelfia y Washington. Si un notario televisado selecciona aleatoriamente dos de estas ciudades como tema para un reportaje especial,

¿Qué probabilidad hay de que la selección

(a) incluya Chicago;

(b) consista en Detroit y Houston?

 n=7     r=2

a) P(x) =6C₁ . 1C₁ /7C₂

b)P(x) =5C₀ . 1C₁ . 1C₁ / 7C₂ = 0.047

En una canasta hay seis piezas de pastel de chocolate y cinco piezas de pastel de nuez. Si un mesero toma aleatoriamente dos piezas de pastel de la canasta y las sirve a unos comensales que ordenaron pastel de chocolate, ¿cuál es la probabilidad de que comenta un error?

  n=11   r=2

P(x) =5C ₂ /11C ₂= 0.18

Si 226 de 300 suscriptores de un diario seleccionados al azar indicaran que leen la sección de tiras cómicas diariamente, estime la probabilidad de que cualquier suscriptor seleccionado al azar también lea la sección de tiras cómicas todos los días.

P(x) =226/300=0.75

Si 103 de 150 pasajeros de una línea de autobuses seleccionados al azar encontraran los autobuses muy sucios, estime la probabilidad de que cualquier pasajero seleccionado al azar encuentre que los autobuses están muy sucios.

P(x)=103/150=0.68

PERMUTACIONES.

En una encuesta de ciencias políticas, se clasifica a los electores en seis categorías de ingreso y cinco categorías de educación. ¿De cuantas maneras distintas se puede clasificar a un elector?

6.5=30

Una cadena de tiendas de muebles tiene tres almacenes y veinte sucursales de venta al menudeo. ¿De cuantas maneras diferentes pueden embarcar un artículo de uno de los almacenes a una de las sucursales de minoreo?  

N=20 r=3

20P₃ =(20)(19)(18)=6840

Un representante de compras hace sus pedidos por teléfono, fax, correo o mensajería. Solicita que se confirmen sus pedidos sea por teléfono o por fax. ¿De cuántas maneras distintas se puede hacer y confirmar uno de sus pedidos? 

N=4  r=2

4P₂ =(4)(2)=8

Hay cinco rutas entre la casa de una ejecutiva y su sitio de trabajo.

A)     ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar?

B)      ¿De cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar si no quiere tomar la misma ruta de ida y vuelta?

C)      Si una de sus cinco rutas corre sobre una calle de un solo sentido, entonces ¿de cuantas maneras distintas puede ir al trabajo y regresar (suponiendo que quiera tomar la misma ruta de ida y vuelta)?

a)      N=5  r=5        5P₅ =5!=120

b)      N=5  r=2        5P₂ =(5)(4)=20

c)       N=5  r=4        5P₄ =5!/(5-4)!=120

En un paquete de óptica hay seis lentes cóncavos, cuatro lentes convexos, dos prismas y dos espejos. ¿De cuántas maneras distintas podemos seleccionar un lente cóncavo, un lente convexo, un prisma y un espejo de este paquete?

N=6 cóncavos, 4 convexos, 2 prismas y 2 espejos   r=1

(6)(4)(2)(2)P₁ =(6)(4)(2)(2)=96

En el consultorio de un doctor, hay ocho números recientes de Newsweek, seis números del New Yorker y cinco números del Reade´s Digest. ¿De cuántas maneras diferentes un paciente que espera para ver al doctor puede hojear una revista de cada editorial si el orden no tiene importancia?

N=8,6, 5   r=1

(8)(6)(5)P₁ =(8)(6)(5)=240

En unas vacaciones una persona querría visitar tres de diez Sitios históricos de Filadelfia. ¿De cuántas maneras distintas puede planear su viaje si el orden de las visitas tiene importancia?

N=10   r=3 

10P₃ =(10)(9)(8)=720

¿De cuántas maneras distintas se puede asignar a once representantes de servicio para cuatro nuevos clientes corporativos, suponiendo que a cada representante de servicio se le pueda asignar a lo sumo uno de los clientes corporativos?

N=11  r=4

11P₄ =11!/(11-4)!=7920

Un parque de diversiones tiene 28 recorridos distintos. ¿De cuántas maneras diferentes una persona puede tomar cuatro de estos recorridos, suponiendo que el orden es importante y que esta persona no quiera tomar un recorrido más de una vez?

N=28   r=4

28P₄ =28!/(28-4)!=491400

Si en una carrera participan nueve caballos ¿De cuántas maneras distintas pueden terminar en primero, segundo y tercer lugar?

N=9   r=3

9P₃ =(9)(8)(7)=504